Pembahasan OSNK 2025 — Matematika SMP

1

Soal Pilihan Ganda · 1 / 25

Belum

Jika

$$a = \frac{{(-1)^4 \times 4 + (-1)^3 \times 3 + (-1)^2 \times 2 + (-1)^1 \times 1}}{{2^3}}$$

maka nilai dari $\dfrac{{a + \sqrt{{a}}}}{{a - \sqrt{{a}}}} = \ldots$

A. $-3$

B. $-\dfrac{1}{3}$

C. $\dfrac{1}{3}$

D. $3$

Soal 1 dari 25

Pembahasan

Hitung nilai $a$:
$a = \dfrac{(-1)^4\times4+(-1)^3\times3+(-1)^2\times2+(-1)^1\times1}{2^3}=\dfrac{4-3+2-1}{8}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$
Nilai $\sqrt{a}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}$
Substitusi:
$\dfrac{a+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}}=\dfrac{\tfrac14+\tfrac12}{\tfrac14-\tfrac12}=\dfrac{\tfrac34}{-\tfrac14}=-3$

JAWABAN: A

2

Soal Pilihan Ganda · 2 / 25

Belum

Suatu data terdiri dari 35 bilangan bulat positif. Bilangan terbesar adalah 29 dan mediannya adalah 22. Misalkan rata-rata terkecil yang mungkin dari data tersebut adalah $x$, dan rata-rata terbesar yang mungkin adalah $y$. Nilai $x + y = \ldots$

A. $40{{,}}4$

B. $37{{,}}4$

C. $36{{,}}4$

D. $25{{,}}4$

Soal 2 dari 25

Pembahasan

Data diurutkan: $a_1\le\cdots\le a_{{35}}=29$, median di data ke-18, sehingga $a_{{18}}=22$.
Rata-rata terkecil ($x$): $a_1=\cdots=a_{{17}}=1$, $a_{{19}}=\cdots=a_{{34}}=22$.
$x=\dfrac{{17\cdot1+17\cdot22+1\cdot29}}{{35}}=\dfrac{{420}}{{35}}=12$.
Rata-rata terbesar ($y$): $a_1=\cdots=a_{{17}}=22$, $a_{{19}}=\cdots=a_{{34}}=29$.
$y=\dfrac{{18\cdot22+17\cdot29}}{{35}}=\dfrac{{889}}{{35}}=25{{,}}4$.
Jadi $x+y=12+25{{,}}4=37{{,}}4$.

💡 Trik Superkilat

$x+y=\dfrac{{17(1+22)+18(22+29)}}{{35}}=\dfrac{{23+51}}{{2}}=37$, yang lebih dari 37 adalah $37{{,}}4$.

JAWABAN: B

3

Soal Pilihan Ganda · 3 / 25

Belum

Jajargenjang $ABCD$ memiliki keliling 106 cm dengan panjang sisi $AB=(3x+1)$ cm dan $BC=(5x-20)$ cm. Titik $E$ pada sisi $AB$ sehingga $DE\perp AB$. Titik $F$ dan $H$ pada ruas garis $CE$. Titik $K$ pada sisi $AB$ sehingga $FK\parallel DE$. Titik $G$ berada di dalam segitiga $ECD$ sehingga $GF\perp GH$ dan $GF\parallel DE$. Jika $DE=(3x-7)$ cm, $HC=2\times EF$, dan $FK=5$ cm, luas daerah bangun datar berwarna biru adalah $\ldots$ cm$^2$.

A. $122{{,}}5$

B. $185$

C. $262{{,}}5$

D. $280$

Soal 3 dari 25

Pembahasan

Keliling $106=2(AB+BC)=2(8x-19)\Rightarrow x=9$. Didapat: $AB=DC=28$, $BC=AD=25$, $DE=20$.
Dengan Pythagoras pada $\triangle ADE$: $AE^2=25^2-20^2=225\Rightarrow AE=15$.
Buktikan $\triangle KFE\sim\triangle DEC$, diperoleh $EK=7$.
Pada $\triangle EFK$: $EF=\sqrt{{74}}$, $HC=2\sqrt{{74}}$, $EC=4\sqrt{{74}}$, $FH=\sqrt{{74}}$.
Buktikan $\triangle KFE\cong\triangle GFH$, maka $FG=5$, $GH=7$.
Luas arsir: $L=L_{{\triangle EDC}}-L_{{\triangle FGH}}=\frac12(20)(28)-\frac12(5)(7)=280-17{{,}}5=262{{,}}5$.

⚡ Trik Superkilat

$\dfrac{{[FGH]}}{{[DEC]}}=\left(\dfrac14\right)^2=\dfrac1{{16}}$
$L=\left(1-\frac1{{16}}\right)\cdot\frac12\cdot20\cdot28=\frac{{15}}{{16}}\times280=262{{,}}5$.

JAWABAN: C

4

Soal Pilihan Ganda · 4 / 25

Belum

Tiga bersaudara Ana, Bona, dan Cinta mendapatkan uang saku bulanan mereka dalam bentuk uang pecahan Rp5.000, Rp10.000, serta Rp20.000 dengan pembagian sebagai berikut:

Ana: $x$ lembar Rp5.000, $y$ lembar Rp10.000, $z$ lembar Rp20.000
Bona: $y$ lembar Rp5.000, $z$ lembar Rp10.000, $x$ lembar Rp20.000
Cinta: $z$ lembar Rp5.000, $x$ lembar Rp10.000, $y$ lembar Rp20.000

Total uang saku ketiganya Rp700.000. Pernyataan benar adalah $\ldots$

A. Ana mendapatkan uang saku sejumlah tepat 20 lembar

B. Bona mendapatkan uang saku dengan nilai terbesar

C. Cinta mendapatkan uang saku dengan nilai terkecil

D. Ana, Bona, dan Cinta mendapatkan uang saku lembaran Rp10.000 yang sama banyaknya

Soal 4 dari 25

Pembahasan

Jumlahkan: $35000(x+y+z)=700000\Rightarrow x+y+z=20$.
Masing-masing mendapat tepat 20 lembar.

JAWABAN: A

5

Soal Pilihan Ganda · 5 / 25

Belum

Suatu objek di titik $(x,y)$ hanya dapat bergerak ke $(x+1,y)$, $(x,y+1)$, atau $(x+1,y+1)$. Banyaknya jalur berbeda dari $(0,0)$ ke $(5,5)$ adalah $\ldots$

A. $25$

B. $252$

C. $1683$

D. $3125$

Soal 5 dari 25

Pembahasan

Kasus $D=0,1,2,3,4,5$: masing-masing memberikan $252, 630, 560, 210, 30, 1$.
Total $=252+630+560+210+30+1=1683$.

⚡ Trik Superkilat Combo

$\displaystyle\sum_{{k=0}}^{{5}}2^k\binom{{5}}{{k}}^2=1683$

JAWABAN: C

6

Soal Pilihan Ganda · 6 / 25

Belum

Dalam lingkaran berpusat $O$ jari-jari 7, dibuat segitiga $ABC$ dengan $A,B,C$ pada lingkaran, $AC$ diameter dan $\angle ACB=60^\circ$. Melalui $C$ dan titik tengah $AB$ dibuat garis memotong lingkaran di $D$. Panjang $CD=\ldots$

A. $3\sqrt{{7}}$

B. $5\sqrt{{7}}$

C. $6\sqrt{{7}}$

D. $7\sqrt{{7}}$

Soal 6 dari 25

Pembahasan

Karena $AC$ diameter, $\angle ABC=90^\circ$, $\angle ACB=60^\circ$.
$AC=14$, $BC=7$, $AB=7\sqrt{{3}}$. Titik tengah $P$: $AP=PB=\frac{{7\sqrt{{3}}}}{{2}}$.
Pada $\triangle PCB$: $PC^2=PB^2+BC^2=\frac{{343}}{{4}}\Rightarrow PC=\frac{{7\sqrt7}}{{2}}$.
Power of Point: $PA\cdot PB=PC\cdot PD\Rightarrow PD=\frac{{3\sqrt7}}{{2}}$.
$CD=PC+PD=5\sqrt7$.

JAWABAN: B

7

Soal Pilihan Ganda · 7 / 25

Belum

Diketahui $p$ dan $q$ bilangan bulat positif dengan
$p-1=(k^2-4k-3)^2$ dan $q-1=(k^2-4k-5)^2$.
Jika $pq$ bilangan prima, nilai terbesar yang mungkin bagi $p^2+q^2$ adalah $\ldots$

A. $10$

B. $26$

C. $122$

D. $1370$

Soal 7 dari 25

Pembahasan

Karena $pq$ prima, salah satu dari $p$ atau $q$ sama dengan 1.
Kasus 1: $p=1\Rightarrow q=5\Rightarrow p^2+q^2=26$.
Kasus 2: $q=1\Rightarrow p=5\Rightarrow p^2+q^2=26$.

JAWABAN: B

8

Soal Pilihan Ganda · 8 / 25

Belum

Barisan: $1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,\ldots$ (hilangkan kelipatan 5). Suku ke-2025 adalah $\ldots$

A. $2430$

B. $2530$

C. $2531$

D. $2532$

Soal 8 dari 25

Pembahasan

$4m+\delta=2025\Rightarrow m=506$, $\delta=1$.
$n=5(506)+1=2531$.

⚡ Trik Superkilat

$U_{{2025}}=10(253)+1=2531$.

JAWABAN: C

9

Soal Pilihan Ganda · 9 / 25

Belum

Pasangan terurut bilangan bulat $(x,y)$ dengan $-5\le x\le5$, $-5\le y\le5$, yang memenuhi $10\le x^2+y^2\le30$ ada sebanyak $\ldots$

A. $10$

B. $25$

C. $34$

D. $68$

Soal 9 dari 25

Pembahasan

Pasangan $(x^2,y^2)$ dengan $10\le x^2+y^2\le30$: $(25,0),(25,1),(25,4),(16,0),(16,1),(16,4),(16,9),(9,1),(9,4),(9,9)$ dengan masing-masing 4,8,8,4,8,8,8,8,8,4 pasangan.
Total $=4+8+8+4+8+8+8+8+8+4=68$.

JAWABAN: D

10

Soal Pilihan Ganda · 10 / 25

Belum

Liam memilih satu nomor keberuntungan 6 digit (0–9). Ia mendapat hadiah jika ada setidaknya 3 bilangan ganjil berurutan. Peluangnya adalah $\ldots$

A. $\dfrac{{1}}{{8}}$

B. $\dfrac{{3}}{{16}}$

C. $\dfrac{{1}}{{4}}$

D. $\dfrac{{5}}{{16}}$

Soal 10 dari 25

Pembahasan

$a_6=44\Rightarrow P(\text{{tidak}})=\frac{{44}}{{64}}=\frac{{11}}{{16}}$.
$P(\text{{hadiah}})=1-\frac{{11}}{{16}}=\frac{{5}}{{16}}$.

JAWABAN: D

11

Soal Pilihan Ganda · 11 / 25

Belum

Dua bilangan bulat positif jumlah 40 dan KPK 48. FPB kedua bilangan tersebut adalah $\ldots$

A. $8$

B. $12$

C. $16$

D. $24$

Soal 11 dari 25

Pembahasan

Misal $a=pq$, $b=pr$, $\text{{FPB}}(q,r)=1$.
$p(q+r)=40$, $pqr=48$, sehingga $p=8$, $q+r=5$, $qr=6$.
Bilangannya: $16$ dan $24$. $\text{{FPB}}=8$.

JAWABAN: A

12

Soal Pilihan Ganda · 12 / 25

Belum

Jika

$$f(x)=2025+\frac{{x+1}}{{x}}+\frac{{x^2+2}}{{x^2}}+\cdots+\frac{{x^{{10}}+10}}{{x^{{10}}}},$$

maka nilai $f(2)+f(1)-f(-1)-f(-2)=\ldots$

A. $0$

B. $\dfrac{{565}}{{256}}$

C. $\dfrac{{13365}}{{256}}$

D. $11430$

Soal 12 dari 25

Pembahasan

$f(2)+f(1)-f(-1)-f(-2)=2\left(\frac{{1}}{{2}}+\frac{{3}}{{8}}+\frac{{5}}{{32}}+\frac{{7}}{{128}}+\frac{{9}}{{512}}\right)+50=\frac{{13365}}{{256}}$.

JAWABAN: C

13

Soal Pilihan Ganda · 13 / 25

Belum

Ana punya 9 stiker: 2 donat, 4 centang biru, 3 hati tersenyum. Dipilih 8 stiker, hati di paling kanan. Stiker sama tidak bersebelahan. Banyak cara $\ldots$

A. $26$

B. $32$

C. $35$

D. $36$

Soal 13 dari 25

Pembahasan

Kasus 1: Semua 4 centang dipakai → 6 cara.
Kasus 2: 3 centang dipakai (2D, 3C, 3H) → 2+7+20=29 cara.
Total $=6+29=35$.

JAWABAN: C

14

Soal Pilihan Ganda · 14 / 25

Belum

Bidang empat $T.ABC$ dengan sisi $TBC$, $TBA$, $ABC$ saling tegak lurus. $[TBC]:[TBA]:[ABC]=1:2:3$ dan $AC=10$ cm. Volume $T.ABC$ sama dengan $\ldots$ cm$^3$.

A. $\dfrac{{80\sqrt{{5}}}}{{9}}$

B. $\dfrac{{80\sqrt{{5}}}}{{3}}$

C. $80\sqrt{{5}}$

D. $320\sqrt{{5}}$

Soal 14 dari 25

Pembahasan

$a:b:c=6:2:3$, misal $a=6x$, $b=2x$, $c=3x$.
$(6x)^2+(3x)^2=100\Rightarrow x=\frac{{2\sqrt5}}{{3}}$.
$V=\frac13abc=6x^3=\frac{{80\sqrt5}}{{9}}$.

JAWABAN: A

15

Soal Pilihan Ganda · 15 / 25

Belum

Barisan geometri $80, x, y, z, 3125$. Nilai terkecil yang mungkin dari $x-y+z$ adalah $\ldots$

A. $-3120$

B. $-1950$

C. $480$

D. $9$

Soal 15 dari 25

Pembahasan

$r=-\frac52\Rightarrow x=-200$, $y=500$, $z=-1250$.
$x-y+z=-1950$.

JAWABAN: B

16

Soal Pilihan Ganda · 16 / 25

Belum

Kertas dilipat dua membentuk buku. Salah satu lembar jumlah keempat nomor halamannya 122. Banyak kertas $\ldots$ lembar.

A. $60$

B. $15$

C. $12$

D. $10$

Soal 16 dari 25

Pembahasan

Jumlah 4 halaman per lembar: $8n+2=122\Rightarrow n=15$.

JAWABAN: B

17

Soal Pilihan Ganda · 17 / 25

Belum

Enam bilangan prima kurang dari 160 membentuk barisan aritmetika dengan beda lebih dari 1. Jumlah keenam bilangan tersebut adalah $\ldots$

A. $240$

B. $300$

C. $492$

D. $926$

Soal 17 dari 25

Pembahasan

$b=\text{{KPK}}(2,3,5)=30$. Coba $a=7$: $7,37,67,97,127,157$. Semua prima dan $<160$.
Jumlah $=7+37+67+97+127+157=492$.

JAWABAN: C

18

Soal Pilihan Ganda · 18 / 25

Belum

Segitiga $ABC$ sama kaki $AC=BC$, $AB=10$ cm, luas $25$ cm$^2$. $BD:DC=CE:EA=AF:FB=2:3$. $P=AD\cap CF$, $Q=AD\cap BE$, $R=BE\cap CF$. Perbandingan $[PQR]$ dan $[ABC]$ adalah $\ldots$

A. $1:19$

B. $2:19$

C. $3:25$

D. $1:5$

Soal 18 dari 25

Pembahasan

Menelaus: $\frac{{FP}}{{PC}}=\frac{{4}}{{15}}$, $\frac{{FR}}{{RC}}=\frac{{9}}{{10}}$.
Teorema Routh: $\frac{{L_{{PQR}}}}{{L_{{ABC}}}}=\frac{{1}}{{19}}$.

JAWABAN: A

19

Soal Pilihan Ganda · 19 / 25

Belum

Bilangan Super Ganjil: semua digitnya ganjil. Jumlah semua bilangan Super Ganjil kurang dari 1000 adalah $\ldots$

A. $45130$

B. $55250$

C. $60125$

D. $70775$

Soal 19 dari 25

Pembahasan

Digit ganjil: 1,3,5,7,9. 1-digit: 25, 2-digit: 1375, 3-digit: 69375.
Total $=25+1375+69375=70775$.

⚡ Trik Superkilat Combo

$5(100\cdot125+10\cdot150+1\cdot155)=70775$.

JAWABAN: D

20

Soal Pilihan Ganda · 20 / 25

Belum

Kontrol kualitas 2000 baterai. Data kerusakan diberikan pada diagram berikut. Banyak baterai standar (tidak rusak) adalah $\ldots$

A. $1804$

B. $1880$

C. $1919$

D. $1920$

Soal 20 dari 25

Pembahasan

Inklusi-Eksklusi: $|P\cup E\cup T|=30+50+40-10-19-15+5=81$.
Baterai standar $=2000-81=1919$.

JAWABAN: C

21

Soal Pilihan Ganda · 21 / 25

Belum

Bilangan segilima: $U_0=1$, $U_1=5$, $U_2=12$, $U_3=22$. Bilangan segilima paling dekat dengan 2025 adalah bilangan segilima ke-$\ldots$

A. $30$

B. $33$

C. $36$

D. $39$

Soal 21 dari 25

Pembahasan

$U_n=\frac{{3n^2+5n+2}}{{2}}$. $3n^2+5n-4048=0\Rightarrow n\approx36$.
$U_{{36}}=2035$, yang paling dekat dengan 2025.

JAWABAN: C

22

Soal Pilihan Ganda · 22 / 25

Belum

Segitiga sama sisi $ABC$ dan $DEF$ sisi 1 cm. $B$ pada $DE$, $D$ pada $AB$, $G=BC\cap DF$. $[ADGC]=[BEFG]=[BDG]$. Keliling segilima $AEFGC$ adalah $\ldots$ cm.

A. $\dfrac{{1}}{{6}}-\dfrac{{1}}{{2}}\sqrt{{2}}$

B. $6-\sqrt{{2}}$

C. $\dfrac{{3}}{{6}}-\dfrac{{1}}{{2}}\sqrt{{2}}$

D. $6-3\sqrt{{2}}$

Soal 22 dari 25

Pembahasan

$BD=\frac{{\sqrt{{2}}}}{{2}}$. Keliling $=1+1+1+2(1-\frac{{\sqrt{{2}}}}{{2}})+1=6-\frac{{3}}{{2}}\sqrt{{2}}$.

JAWABAN: D

23

Soal Pilihan Ganda · 23 / 25

Belum

Barisan dengan huruf $A,B,C$: $A,AB,AC,AA,ABB,ABC,ABA,ACB,ACC,ACA$ merepresentasikan 1–10. Nilai dari $ABAB+ACAC=\ldots$

A. $ABCCC$

B. $ABCBB$

C. $ABCAC$

D. $ABCAB$

Soal 23 dari 25

Pembahasan

$ABAB=1313_{{(3)}}=20$, $ACAC=2323_{{(3)}}=30$.
$ABAB+ACAC=20+30=50=ABCBB_{{(3)}}$.

JAWABAN: B

24

Soal Pilihan Ganda · 24 / 25

Belum

Oktahedron: setiap bidang sisi angka = jumlah semua bidang yang berbagi rusuk dengannya. $a=-4$, $c=0$, $g=-10$. Nilai $b=\ldots$

A. $-10$

B. $-8$

C. $8$

D. $10$

Soal 24 dari 25

Pembahasan

$h=a+c+g=-4+0-10=-14$.
$2d=28\Rightarrow d=14$.
$b=a+c+d=-4+0+14=10$.

JAWABAN: D

25

Soal Pilihan Ganda · 25 / 25

Belum

8 semut di 8 titik sudut kubus. Masing-masing bergerak ke salah satu dari 3 titik yang terhubung, lalu berhenti. Peluang tidak ada semut yang bertemu adalah $\ldots$

A. $\dfrac{{2}}{{3^8}}$

B. $\dfrac{{5}}{{3^8}}$

C. $\dfrac{{4}}{{3^7}}$

D. $\dfrac{{8}}{{3^7}}$

Soal 25 dari 25

Pembahasan

Kasus 1 (Rotasi sisi berhadapan): 12 cara. Kasus 2 (Siklus Hamiltonian): 12 cara.
$P(A)=\dfrac{{24}}{{3^8}}=\dfrac{{8}}{{3^7}}$.

JAWABAN: D